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【数学基础】线性方程组解情况整理

2024-04-01 05:03:44阅读 2

一、非齐次线性方程组,无解,多解,唯一解

非齐次线性方程组,就是方程组的等式右边不为0的方程组,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵。

【例1】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组个数小于未知数个数,有多个解。

第一步,先列出增广矩阵:

第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵
先把第2行换到第1行 

第2行减第1行的2倍,第3行减第1行的3倍,得到 

第3行减第2行,得到 

化简后的方程组,等于 

这样,x_{2}可以通过x_3来表示,x_1也可以通过 x_3 来表示,这样 x_3 就叫做自由变量,x_3 可以取任意值。所以 x_{1},x_{2},x_{3} 就有无穷多个解。

可见,化简后的有效方程组个数,小于未知数个数。 
有效方程组个数=2,未知数个数=3

化简后的有效方程组个数,小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解化。{\color{Red}{r(A)=r(A,b) <n }}

【例2】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程,则无解化。

第一步,先列出增广矩阵:

第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵。
第2行减去第1行*2,第3行减去第2行 

导出最后一个方程: 

0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=5

这个方程是不可能成立的,所以原线性方程组无解。 
这种形式的方程叫做 {0=d} 方程,其中d是非零数,这种叫做不相容方程,也是自相矛盾的方程。 
{0=d} 方程是一种自相矛盾的方程,左边全是0,右边是一个非零,这是自相矛盾的,是不相容的,所以无解。 

 

化简后导出 {0=d} 形式的方程,方程组无解。

判断有解无解总结: 
对于 Ax=b方程组 
通过高斯消元法,化简,化成阶梯行方程组 

  1. 先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程,如果出现,无解。
  2. 有解的情况下,再看看有效方程个数是否小于未知数个数,如果是,则有无穷多个解。如果正好相等,则有唯一解。

二、齐次线性方程组,非零解,零解

齐次线性方程组,就是方程组的等式右边全部是0的方程组,只有系数矩阵,不需要增广矩阵,所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况,只需要考虑是多个解,还是唯一解

对于齐次线性方程组,有多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。

对于Ax=0的齐次线性方程组,列出其系数矩阵(不需要增广矩阵),使用高斯消元法化简,化为阶梯形矩阵,化简后,判断有效方程组个数是否小于未知数个数。
如果有效方程组个数小于未知数个数,叫做有非零解(多个解) 。如果等于,叫做只有零解(唯一解)。

三、什么是矩阵的秩(zh\grave{i}),什么是detA?

detA就是矩阵A的行列式的值。
什么叫做矩阵的秩? 
将矩阵用高斯消元法化简后,非零行的行数叫做行秩非零列的列数叫做列秩。 
矩阵的秩是方阵经过初等变换后的非零行行数或非零列列数。 
可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是极大无关组中所含向量的个数。

定义:{\color{Red}{ A=\{ a_{ij} \} m\times n }}的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩。
记做{\color{Red}{rA}},或者{\color{Red}{rankA}}
特别规定零矩阵的秩就是零。 
若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r< min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。 
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n。

r(A^{-1}A)=r(I) = n \leq \min(r(A^{-1}),r(A))\leq \min(r(A^{-1}),n)\\ \Rightarrow n \leq \min(r(A^{-1}),n) \\ \Rightarrow r(A^{-1}) = n

满秩矩阵才可逆(以下记T_i为第i个矩阵的初等变化)

如果矩阵A是满秩的,我们就可以通过一系列的初等变化将矩阵A变换为单位矩阵。

T_1T_2\cdots T_nA = I

A^{-1} = T_1T_2\cdots T_n

所有通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,满秩矩阵detA\neq 0
不满秩矩阵就是奇异矩阵,奇异矩阵detA= 0
由行列式性质知道,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

四、通过矩阵的秩(zh\grave{i})来判断线性方程组无解,有多个解,唯一解的问题

线性方程组什么时候无解,有多个解,唯一解?

1.对于非齐次线性方程组,用矩阵的秩r(A)来判断

对线性方程组进行初等变换(高斯消元法),化为最简型(阶梯形)矩阵。

考查系数矩阵r(A),增广矩阵r(A,b),以及方程组未知数个数n。

如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b),r(A)<r(A,b),那么方程组无解;
如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数,r(A)=r(A,b)<n,那么方程组有多个解。
如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数,r(A)=r(A,b)=n,那么方程组有唯一解。

2.对于齐次线性方程组,用行列式的值 detA来判断。

不存在无解的情况。至少有全0的解。
判断detA,如果detA=0,则有非零解(无穷多个解)。 
判断detA,如果detA≠0,则只有零解(只有唯一解)。

总结

无论是对于齐次线性方程组还是非齐次线性方程组,都可以通过矩阵的秩来做判断。

只要矩阵为满秩的,则必然只有唯一解

  1. 对于齐次线性方程组来说唯一解为0解
  2. 而非齐次线性方程组的唯一解就不一定了

如果矩阵不是满秩的

  1. 对于齐次线性方程组而言,则有无穷多解,故存在非零解。
  2. 对于非齐次线性方程组而言,有两种情况:
    1. 一种为系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同,则有无穷多解。
    2. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,则无解。

参考文章

线性方程组什么时候无解?多个解?唯一解?

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